YOSHIのネイティブフレーズ

面白い質問ですね。そして息子さんはとても良いお土産を持ち帰ってくれましたね！

I went to the hospital「私は病院に行きました」は文法的には問題ありません。
ただし、hospital は『総合病院』を意味するので、何か大きな事故や病気になってしまったのではないかと相手を驚かせてしまう可能性があるんですよ。

よって、普通に風邪の診断を受ける場合は「I’m going to see a doctor.」 もしくは「I’m going to a clinic.」の方が一般的な表現になるわけです。

その後に症状などを伝える場合は、「〜because I have a sore throat （なぜなら、喉が痛いから）」「because I have a fever（熱があるから）」because I have a stomach ache（腹痛があるから）」などが続きます。
ちなみに、内科、外科、眼科など、それぞれの診療所によって呼び名が変わるので一通りご紹介しましょう。

内科 ⇒ internal medicine
内科医 ⇒ physician
外科 ⇒ surgery / surgical department
外科医 ⇒ surgeon
神経科 ⇒ neurology
精神科 ⇒ psychiatry
小児科 ⇒ pediatrics
眼科 ⇒ ophthalmology / eye clinic

I’m going to the clinic より具体的に説明したい場合は、I’m going to the internal medicine / neurology / pediatrics などと説明しましょう。全ての診療所を覚えるのは大変なので、まずは「I’m going to see a doctor because〜」の形を覚えるのが良いかもしれませんね。

逆に、知り合いが「I’m going to the hospital」と言ったら、何か大きなケガや病気にかかっているかもしれないので、「I’m so sorry to hear that（それを聞いて大変残念です）」「I hope you get better（早く良くなるといいですね）」など、気遣いの言葉も言えると良いと思います。